Alguns professores chegam a considerar a resolução de problemas como a principal razão de se aprender e ensinar matemática, porque é através dela que se inicia o aluno no modo de pensar matemático e nas aplicações da Matemática no nível elementar.
Entretanto, embora tão valorizado, este tem sido, ao longo dos anos, um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar todos os algoritmos (as “continhas” de adição, subtração, multiplicação e divisão) e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos.
A resolução de problemas é hoje muito estudada e pesquisada pelos educadores matemáticos devido à sua grande importância no ensino de Matemática. Vejamos o que dizem alguns deles:
A real justificativa para se ensinar Matemática é que ela é útil e, em particular, auxilia na solução de muitas espécies de problemas.
Begle
A razão principal de se estudar Matemática é para aprender como se resolvem problemas.
Lester Jr.
A resolução de problemas é a coluna vertebral da instrução matemática desde o Papiro de “Rhind”
George Polya
Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema.
Hatfield
O currículo de Matemática deve ser organizado em torno da resolução de problemas.
NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática (EUA, 1980)
Ao ter como prioridade a construção do conhecimento pelo pensar, o papel da resolução de problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados.
A seguir, Luiz Roberto Dante apresenta algumas orientações para melhor atingir esse objetivo:
O que é um problema?
É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.
O que é um problema matemático?
É qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.
As fases da resolução de um problema segundo Luis Roberto Dante:
Cinco são as etapas que o aluno deve adotar na resolução de um problema:
a)Leitura e compreensão do problema;
b)elaboração de um plano de solução;
c)execução do plano;
d)verificação ou retrospectiva;
e)emissão de resposta;
Vamos examinar cada fase que o aluno deve seguir:
a)Leitura e compreensão do problema;
- Leitura e interpretação cuidadosa do problema.
- Quais são os dados e condições do problema? Há dados a mais no problema? Faltam dados?
- O que se pede, o que se pergunta no problema?
- É possível fazer uma figura, um diagrama ou uma tabela?
- É possível estimar uma resposta?
b) Elaboração de um plano de solução;
- Qual é seu plano para resolver o problema?
- Que estratégias você tentará desenvolver?
- Você se lembra de um problema semelhante mais simples que pode ajudá-lo a resolver este problema?
- Tente organizar os dados em tabelas, gráficos ou diagramas.
- Tente resolver o problema por partes.
c) Execução do plano;
- Execute o plano elaborado.
- Efetue todos os cálculos indicados no plano.
- Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema.
d) Verificação ou retrospectiva;
- Você leu e interpretou corretamente o problema?
- Você elaborou um plano razoável e factível?
- Executou com precisão o que foi planejado? Conferiu todos os cálculos?
- Há alguma maneira de tirar a prova para ver se você acertou?
- A solução está correta?
- Existe outra maneira de resolver o problema?
- É possível usar a estratégia empregada para resolver problemas semelhantes?
e) Emissão da resposta;
- A resposta é compatível com a pergunta?
- Você escreveu a resposta por extenso, respondendo à pergunta do problema?
Algumas sugestões para o ensino na sala de aula:
- Comece trabalhando com problemas simples e, pouco a pouco, apresente problemas mais complexos. Isso fortalece a autoestima e a autoconfiança do aluno.
- Valorize o processo, a maneira como o aluno resolveu o problema e não apenas o resultado.
- Incentive o aluno a “pensar alto” ou a contar como resolveu o problema. Isso auxilia a organização do pensamento e a comunicação matemática.
- Estimule o aluno a fazer a verificação da solução, a revisão do que fez.
- Deixe claro que é permitido errar. Aprendemos muito por tentativa e erro e não por tentativa e acerto. O erro deve ser encarado como ponto de apoio para uma idéia nova.
- Quando está implícito que é “proibido errar”, o aluno não se arrisca, não se aventura, não gera novas idéias, não explora caminhos novos e diferentes.
- Não tire o “sabor da descoberta” do aluno. Oriente, estimule, mas não dê pronto o que ele pode descobrir por si.
- Proponha que os alunos inventem seus próprios problemas.
- Não apresse o aluno durante a resolução de um problema; esta não é uma competição de velocidade.
- Proponha que o aluno formule problemas a partir de uma resposta dada.
- Forme o seu “Banco de Problemas” por série, por ciclo, por assunto, ou por nível de dificuldade.
- Implante em sua classe e/ou em sua escola a seção “O problema da semana”, que poderá figurar no mural da classe e/ou escola.
Para esse importante assunto, indicamos os livros: Didática da resolução de problemas de Matemática, Ática; A resolução de problemas na matemática escolar, Atual; A arte de resolver problemas, Interciência.
Distinguindo exercício de problema.
É preciso fazer clara distinção entre o que é um exercício e o que é um problema.
Exercício: como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades matemáticas.
Exemplo:
Efetue 123 : 3.
Ou, na forma de problema-padrão: Divida 123 balas igualmente entre 3 crianças.
Problema ou problema-processo, é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema-processo exige uma certa dose de iniciativa, e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias.
Exemplos:
1) Um bolo, em forma de um cubo, com cobertura de chocolate em todas as faces, exceto na de baixo, foi cortado em 27 pequenos cubos, todos do mesmo tamanho. Quantos desses pequenos cubos terão:
a) apenas uma face com cobertura?
b) apenas três faces com cobertura?
c) apenas duas faces com cobertura?
d) nenhuma face com cobertura?
2) Durante a semana, minha mãe faz para o almoço três pratos; um deles é arroz ou macarrão, outro é carne ou frango e o terceiro é salada de folhas ou salada de legumes. Quantas formas diferentes minha mãe tem para organizar o cardápio do almoço?
3) Se Touro Sentado der a seu amigo Touro em Pé um de seus arcos, ambos ficarão com a mesma quantidade. Porém, se Touro em Pé der um dos seus a Touro Sentado, este ficará com o dobro do que tem seu amigo. Quantos arcos tem cada um?
4) Ao sair de casa, dona loba deixou para seus dois filhos, Rômulo e Remo, uma certa quantia de moedas de um real e um bilhete que dizia: “Metade destas moedas para cada um”. Quando Rômulo chegou em casa, leu o bilhete pegou metade das moedas e saiu. Ao chegar, Remo leu o bilhete e, pensando ser o primeiro, pegou apenas metade das moedas e saiu. Mais tarde ao voltar dona loba encontrou ainda 3 moedas.
Quantas foram as moedas que dona loba havia deixado para seus dois filhos ?
5) Há 800 anos um matemático hindu chamado Bhaskara ficou famoso pelos estudos que realizou a respeito de equações. Nos seus livros, constam alguns problemas em linguagem poética, para serem resolvidos com equações. Vamos propor um desses problemas, adaptando-o para a linguagem de hoje.
“Dois namorados tanto se abraçam que se parte o colar de pérolas da moça. Um terço das pérolas caiu no chão, um quinto ficou no sofá, um sexto foi achado pela moça e um décimo foi encontrado pelo moço; seis pérolas ficam no fio”. Quantas pérolas tinha o colar ?
6) Calcule aproximadamente, quantas horas você já viveu?
7) Aceite a seguinte afirmação com verdade indiscutível: “Todos os produtos importados são caros”.
Quais das afirmações abaixo podem ser justificadas a partir dela?
a) Podem existir produtos importados que não são caros.
b) Podem existir produtos caros que não são importados.
c Se um produto não é caro, então ele não é importado.
d) Se um produto não é importado, então ele não é caro.
8)Um casal tem três filhos homens, cada um dos quais tem duas irmãs por parte de pai e mãe. Qual é o número total de filhos do casal?
9)Dois pais e dois filhos foram a um restaurante. Cada um gastou 30 reais; no entanto, a conta toda pôde ser paga com uma nota de 100 reais e ainda sobram 10 reais de troco. Explique como isto é possível, se a conta foi paga corretamente e o restaurante não deu desconto algum.
10) Um médico receitou a Pedro que tomasse 4 comprimidos, de seis em seis horas cada um. Se Pedro tomar “certinho”, os quatro comprimidos, quanto tempo levará?
11) Entre a terra e o planeta Solok realizou-se uma corrida espacial, entre cinco naves:
OUSADA chegou depois de RELÂMPAGO;
CARACOL e AVENTURA chegaram ao mesmo tempo;
DESCOBERTA chegou antes de RELÂMPAGO;
A nave que ganhou, chegou sozinha;
Qual nave ganhou a corrida?
12) Uma colônia de bactérias dobra de volume a cada minuto. Se são necessários 90 minutos para a colônia ocupar totalmente um tubo de ensaio, quanto tempo é necessário para ocupar apenas metade do tubo?
13) Anteontem eu tinha 16 anos. No ano que vem farei 19 anos. Quando é meu aniversário? E que dia é hoje?
14) Em uma fazenda, havia cinco ovelhas prenhas. Numa certa manhã, o pastor verificou que todas as ovelhas tinham dado à luz. Nenhuma havia tido dois filhotes. Ao fazer a contagem, o pastor constatou que havia seis filhotes. Como isso é possível?
15) Num laboratório há 8 esferas idênticas e de mesmo volume, porém uma delas tem maior massa. Dispondo-se apenas de uma balança de pratos, como é possível descobrir qual das esferas é a mais pesada com apenas e somente 2 pesagens?
16) João comprou uma bicicleta por R$120,00 e a vendeu por R$130,00. Voltou a comprar a mesma bicicleta por R$140,00 e voltou a vendê-la por R$150,00.
Qual foi seu lucro (ou prejuízo) ao fim de todas essas transações?
17) Uma das maneiras de conseguir encontrar a solução para um problema é o método das tentativas. Muitas pessoas conseguem resolver problemas difíceis usando este método.
Você já deve ter resolvido problemas, experimentando números para ver se dava certo ou não. É importante você perceber que “tentativa” é diferente de “chute”. As tentativas permitem que a gente vá chegando cada vez mais perto da resposta certa. Com os chutes, ora se está perto, ora se está longe da solução, pois os chutes não tem nenhuma lógica.
Utilizando o método das tentativas, resolva o problema abaixo.
AS DENTADURAS DO VAMPIRO
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Um vampiro possuía três tipos especiais de dentaduras:
(1) tipo MO, para pescoços MOLES, própria para crianças;
(2) tipo ME, para pescoços MEDIOS, própria para adultos;
(3) tipo DU, para pescoços DUROS, própria para velhinhos;
Cada dentadura se estragava, por excesso de uso, em tempos diferentes. Assim, as quantidades de cada tipo eram diferentes.
· Ele possuía três a mais do tipo ME do que do tipo MO.
· As dentaduras do tipo DU eram o dobro das do tipo MO.
No total, o vampiro mantinha um estoque de ONZE dentaduras.
Mas ele não mordia as pessoas que fossem capazes de responder;
a) Quantas dentaduras de cada tipo eu tenho?
b) Qual a que existe em maior quantidade?
Você seria mordido pelo vampiro?
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Fonte: A educação Matemática em Revista, n° 2 - SBEM
